In einem Wort:

In einer Menge der Größe n beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass eine k-Zeichenfolge eine k-Permutation bildet, 1/k!, da die Gesamtzahl der Permutationen k! beträgt und die Wahrscheinlichkeit, dass jede Zeichenfolge ausgewählt wird, gleich ist, also jede Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zeichenfolge gebildet wird Eine Permutation ist 1/k!.

Dieses Problem weist einige Ähnlichkeiten mit dem Geburtstagsparadoxon auf. Das Geburtstagsparadoxon bedeutet, dass es in einer Gruppe von n Personen eine Mindestgruppengröße gibt, bei der die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Personen denselben Geburtstag haben, größer als 50 % ist. Diese Wahrscheinlichkeit hängt auch mit der Fakultät der Anzahl der Elemente in der Menge zusammen, sodass in einer Menge der Größe n die Wahrscheinlichkeit, dass eine k-Zeichenfolge eine k-Permutation bildet, einige Ähnlichkeiten mit der Wahrscheinlichkeit des Geburtstagsparadoxons aufweist. Es gibt aber auch einige Unterschiede zwischen ihnen, zum Beispiel muss das Geburtstagsparadoxon die Möglichkeit unterschiedlicher Jahre berücksichtigen, während dieses Problem nur die Anordnung der Elemente in der Menge berücksichtigt.

Xunfei Spark:

Codelösung: In Python können Sie verwendenrandom.choices()Die Funktion generiert eine k-Permutation. Dann können die Gesamtzahl der k Permutationen und die Anzahl der k Strings, aus denen eine k Permutation besteht, mithilfe von Formeln aus der Kombinatorik berechnet werden. Schließlich wird die Wahrscheinlichkeit, dass eine k-Zeichenfolge eine k-Permutation bildet, als Anzahl der k-Permutationen dividiert durch die Gesamtzahl der k-Permutationen berechnet. Im Folgenden finden Sie einen Beispielcode, der zeigt, wie die Wahrscheinlichkeit berechnet wird, dass ein k-String eine k-Permutation bildet:

import math
from collections import Counter

n = 5
k = 3

permutation = list(range(1, n+1))
random.shuffle(permutation)

total_permutations = math.factorial(n) // math.factorial(n-k)

counter = Counter(permutation[:k])
count = sum([combo * math.factorial(n-i) for i, combo in counter.items()])

probability = count / total_permutations
print("The probability that a k-string forms a k-permutation is", probability)

In diesem Beispiel definieren wir zunächst die SammlungsgrößenUndkund verwendenrandom.shuffle()Funktion erzeugt einen ZufallnArray von Elementen.Wir haben dann alles Mögliche berechnetnDie Gesamtzahl der Permutationen von Elementen und deren VerwendungCounter()zuvor berechnete FunktionkDie Anzahl der Vorkommen jedes Elements in den Elementen.Schließlich berechnen wir die Anzahl der k-Strings, die wie oben eine k-Permutation bildenkDie Summe der Produkte aus der Anzahl der Vorkommen jedes Elements in den Elementen und die Division durch alle möglichen ElementenDurch die Gesamtzahl der Permutationen von Elementen wird die Wahrscheinlichkeit ermittelt, dass eine k-Zeichenfolge eine k-Permutation darstellt.

Huawei Pangu:

In einer Menge der Größe n kann die Wahrscheinlichkeit, dass eine k-Zeichenfolge eine k-Permutation darstellt, mit der folgenden Formel berechnet werden:

Wahrscheinlichkeit = k/n

wobei n die Größe der Menge ist.

Das Geburtstagsparadoxon ist ein Zufallsparadoxon, bei dem eine Person an ihrem Geburtstag zufällig ausgewählt wird, um entweder am 1. Juni geboren zu werden oder nicht. Da die Größe der Menge n beträgt, hat diese Frage nichts mit der Wahrscheinlichkeit zu tun, dass a k Zeichenfolgen eine k Permutation in einer Menge der Größe n bilden.

360 Smart Brain:

Dieses Problem kann mit Permutationsformeln in der Kombinatorik gelöst werden. Für eine Zeichenfolge der Länge k kann sie durch Anordnen von k Elementen aus n Elementen erhalten werden, sodass es insgesamt n! verschiedene Anordnungen gibt. Die Anzahl der Schemata zur Auswahl von k Elementen aus n Elementen beträgt C(n, k), d. h. die Anzahl der Kombinationen zur Auswahl von k Elementen aus n Elementen. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass eine k-Zeichenfolge eine k-Permutation bildet, n!/C(n, k).

Diese Wahrscheinlichkeit steht in engem Zusammenhang mit dem Geburtstagsparadoxon. Das Geburtstagsparadoxon bezieht sich auf die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Geburtstag der ersten Person vom Geburtstag der Person nach ihr unterscheidet, wenn die Geburtstage von N Personen in einer Reihe aufgereiht sind. Unter der Annahme, dass die Geburtstage dieser N Personen zufällig verteilt sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass die Geburtstage der ersten Person und der zweiten Person gleich sind, 1/2, und die Wahrscheinlichkeit, dass die Geburtstage der dritten Person und der vierten Person gleich sind Dasselbe ist auch 1/2, also Analogie. Wenn N jedoch sehr groß ist, nähert sich die Wahrscheinlichkeit, dass der Geburtstag der ersten Person von dem der nachfolgenden Person abweicht, 0,6931471805599453. Dies ist die Kernidee des Geburtstagsparadoxons. Tatsächlich kann diese Wahrscheinlichkeit durch die Permutationsformel in der Kombinatorik berechnet und auch durch statistische Methoden überprüft werden.

chatglm:

Wie hoch ist in einer Menge der Größe n die Wahrscheinlichkeit, dass eine Folge von k eine Permutation von k bildet?

In einer Menge der Größe n kann die Wahrscheinlichkeit, dass eine k-Zeichenfolge eine k-Permutation bildet, anhand der Anzahl der Kombinationen C(n, k) berechnet werden. Die Anzahl der Kombinationen gibt die Anzahl der Kombinationen von k Elementen an, die aus n Elementen ausgewählt wurden, und die Berechnungsformel lautet: C(n, k) = n! / (k! * (nk)!).

Beispielsweise sind in einem Satz der Größe 5 die Permutationen, aus denen eine 3-String besteht: AAA, AAB, ABA, ABC, BAC, CAB, CBD, CBA, CFA, FCB, FBA, FBAC, FCAB, FACB, FBCB , FCDB, FCBD, FDAB, FBAA, CFAAB, FCAAC, FCAAB, FCAAB, FAAB, FBACB, FCABC, BACAB, CABAC, CBAAC, BACCB, CABDC, CBDAA, CFAAB, FCAAC, FCAAB, FCAAB, FAAB, FBACB, FCABC, BACAB , CABAC, CBAAC, BACCB, CABDC, CBDAA.

Daher beträgt in einer Menge der Größe n die Wahrscheinlichkeit, dass k Strings eine k-Permutation bilden, C(n, k).

In welcher Beziehung steht diese Frage zum Geburtstagsparadoxon?

Das Geburtstagsparadoxon ist ein Wahrscheinlichkeitsproblem, das besagt, dass unter bestimmten Umständen scheinbar unmögliche Ereignisse tatsächlich eintreten können. Wenn es beispielsweise in einer Kleinstadt drei Familien gibt und in jeder Familie zwei Personen denselben Geburtstag haben, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Person in jeder Familie denselben Geburtstag hat, 1/3. Wenn es jedoch genau drei Familien in der Stadt gibt und jede Familie zwei Personen mit demselben Geburtstag hat, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass jede Familie mindestens eine Person mit demselben Geburtstag hat, tatsächlich 1/2.

Eine ähnliche Situation besteht bei Permutationen und Kombinationen. Beispielsweise werden bei den gegebenen n Elementen k Elemente für die Anordnung ausgewählt, und wenn k sich n nähert, nähert sich die Gesamtzahl der Anordnungen n!/(nk)!, was eine sehr große Zahl ist. In praktischen Anwendungen berücksichtigen wir jedoch angesichts der großen Anzahl von Permutationen normalerweise nur spezielle Permutationen, wie z. B. vollständige Permutationen, sequentielle Permutationen usw.

Daher ist das Geburtstagsparadoxon eng mit dem Problem der Permutation und Kombination verbunden, und zusammen offenbaren sie die Natur einiger scheinbar unmöglicher Ereignisse im Bereich der Wahrscheinlichkeit, die tatsächlich existieren könnten.

chatgpt:

In der Größe n(

n ≥ kn\geq k

N≥k) im Set gibt es $N(N-1)(N-2)\cdots (N-k+1)$ verschiedene Zeichenfolgen der Länge k (auch k-äre Permutationen genannt).

Jede Zeichenfolge der Länge k hat die gleiche Auftrittswahrscheinlichkeit (beide sind).

1 / n 1/n

1/N), sodass die Wahrscheinlichkeit, dass eine k-äre Permutation in der gesamten Menge auftritt, ist:

P ( k Permutation) = k ! ( n − k ) ! n ! = k ( k − 1 ) ⋯ 2 ⋅ 1 n ( n − 1 ) ⋯ ( n − k + 1 ) P(k\text{Permutation}) =\frac{k!(nk)!}{n!}=\frac{k(k-1)\cdots2\cdot1}{n(n-1)\cdots(n-k+1)}

P(kAnordnung)=N!k!(N−k)!​=N(N−1)⋯(N−k+1)k(k−1)⋯2⋅1​

Die Beziehung zwischen diesem Problem und dem Geburtstagsparadoxon besteht darin, dass bei k = 2 die Wahrscheinlichkeit ermittelt werden soll, zwei Personen aus n Personen herauszunehmen, sodass die Geburtstage dieser beiden Personen unterschiedlich sind. Es kann mit dieser Formel berechnet werden:

P ( k = 2 Permutationen) = n ( n − 1 ) 2 ⋅ 1 n 2 = n − 1 2 n P(k=2\text{ Permutationen})=\frac{n(n-1)}MS windows \cdot\fracmidjourney{n^2}=\frac{n-1}{2n}

P(k=2Anordnung)=2N(N−1)​⋅N21​=2NN−1​

Es ist ersichtlich, dass ähnlich wie beim Geburtstagsparadoxon die Wahrscheinlichkeit einer Permutation der Länge k schnell abnimmt, wenn n größer wird. Wenn beispielsweise n=50, k=23,

P (k-Anordnung) ≈ 0,0026 P(k\text{Anordnung}) \ungefähr 0,0026

P(kAnordnung)≈0,0026,sehr klein.

Daher können wir verstehen, dass ein Ereignis wiederholter Geburtstage im Geburtstagsparadoxon einem Ereignis wiederholter k-Gramm in dieser Frage ähnelt: Mit zunehmendem Stichprobenraum werden Ereignisse mit extrem geringer Eintrittswahrscheinlichkeit immer kleiner. mehr und eher passieren.